\chapter{準備}
木で表現された流れを関数で表現するために複素速度ポテンシャルを使用し流れの定義を行う.本章では流れ関数と速度ポテンシャルを足した複素数ポテンシャルがどのようなものか解説を行う.また,複素速度ポテンシャルで定義した関数を可視化する方法として,描画ソフトMATLAB を利用する.

\section{流れ関数}
流れ関数とは，ある流線を基準とし，他の流線の流量を尺度（スケール）とする
関数である．図3.1のような2次元多重連結領域上の非圧縮流について考える．2
つの基準となる流線をs1，s2とし，この2つの流線の間をe～e’やf～ f’のよう
な任意の断面積を通過する流量は常に等しくなる．
\begin{equation}
ψ = ψ (x , y)
%%\label{eq:diff}
\end{equation}

%%\footnote{二八は韻をふむための書き方で、ニハチ(つまり16)と読む。}


\section{速度ポテンシャル}
速度ポテンシャルとは，流体力学において渦無し流れを解析する場合に用いられる．渦無し流れとは流れのいたるところで渦度がゼロである流れのことであり，流れの中の渦の存在を調べる際に使用する概念を循環という．循環は，流れ場の閉曲線に沿う速度の線積分である．速度成分をu，vとして，循環を次に定義する．

\begin{equation}
Φ (S) =∫ (V ・ ds) =∫ (udx + vdy)
%%\label{eq:diff}
\end{equation}
この関数を速度ポテンシャルと呼ぶ.

\section{複素速度ポテンシャル}
ここでは，2次元渦無し流れ（ポテンシャル流れ）を，複素速度ポテンシャルで作図する．渦無し流れとは，流れ場のどこをとっても渦度がゼロである流れのことで，2次元渦無し流れには速度ポテンシャルと流れ関数が存在する．これらの間には次の関係式が成り立つ．複素座標 $z=x+iy$で定義された関数で，実数部分が速度ポテンシャル$Φ(x,y)$で複素数部分が流れ関数ψ(x，y)となるような複素数関数を$z=x+iy$のとき

\begin{equation}
f (z) = Φ + i ψ
%%\label{eq:diff}
\end{equation}
とする.これを複素速度ポテンシャルと呼ぶ.本研究ではこの式を使用し,流れの木表現を関数に変換していく.

\section{MATLAB の使用}
MATLAB とは,関数やデータの可視化が可能な数値解析ソフトウェア,またはその中で使うプログラム言語の総称である.今回は,この MATLAB に複素速度ポテンシャル関数を打ち込み描画させ,作った関数が正しく流れを表現できているかを確認する.

