\chapter{流れの可視化}
本章では,流れの木表現を関数に変換する方法を考える.木表現を関数に変換する際,関連研究で示した流れの初期パターンに 5 つの操作を加えた流線を関数化させる.

\section{木表現の列挙}
2.4節の生成規則に従い木の葉になり得るB系から開始記号までを再帰的に列挙を行う．B系には全く同じ構造の木表現の場合の重複に加え，生成規則の波括弧を用いた流れ構造の要素は反転しても円順序が流線図においてー致するものは同一視することができるため，同一視順序対であるものの重複とは異なる重複も存在する.つまり，要素の順を考慮しないB系の流れ$b_{++}{b_{++}{l,l},l}$と$b_{++}{l,b_{++}{l,l}}$は重複しているとみなされる．この木表現の重複は流れの可視化する場合に同じ構造を持つ流線図を描画してしまう原因となる．

%%\footnote{二八は韻をふむための書き方で、ニハチ(つまり16)と読む。}


\section{木文法の 5 つの操作に現れる流線の関数化}
関連研究で示した木文法の5つの操作に現れる流線を複素速度ポテンシャルで表
現する．A系の$a_+$と$a_-$は図4.1のように一様流と渦の組み合わせで表現でき
る．一様流は複素速度ポテンシャルで$Uz$と表現でき，左回りの渦は$-im\log z$，
右回りの渦は$im\log z$と表現することが出来る．よって，$a_+$と$a_-$をそれぞ
れ$Uz-im\log z$と$Uz + im\log z$とすることが出来る．また，$\log z-a$とす
ることで渦の中心点を$acm$移動させることが可能である．A系のa2は障害物の半径
$acm$で中心点$(0，0)$の円とするという条件のもと$Uz + im\log z$となる．

次にB系は図4.2のように２つの渦を組み合わせることで表現することが出来る．
よって，$b_{++}$と$b_{--}$をそれぞれ$-im\log z+a -m\log z-a$と$im\log
z+a +m\log z-a$で表現し，$b_{+-}$はa<bとしたとき$im\log z+a -in\log z+b$
となり，$b_{-+}$はa>bのとき$im\log z+a -in\log z+a$となる．$β_+$と
$β_-$は障害物を半径$acm$で中心点$(0，0)$の円とするという条件のもと$-im\log z$と$im\log z$と表現する．

C系の流れは図4.3のように必ず渦が障害物に上にある必要がある．C系は$C_+$と$C_-$は障害物を半径$acm$で中心点$(0，0)$の円とし，$-im\log z±c$と$im\log z±c$とする．しかし，これらの表現のみだと渦が多き過ぎて障害物上に渦がかからない場合やその逆が起こる問題点がある．


\section{流れの可視化}
木で表現された流線を関数に変換する．例として
$b_{Φ+},b_{++}{b_{++}{l,l},c_-(l,l)},c_-(l,l))$を複素速度ポテンシャル関
数で表現する場合を考える．4.1節で定義した関数に数値を代入したものを
MATLABで描画させ，例とした木の流れをうまく表現できる適した大きさの描画が
できる数値を見つける．そして，例とした木を表現できる式は次のようになる．


式(4)をMATLABに打ち込み描画しようと試みたがうまくいかなかった．しかし式を一項ごと打ち込むことで描画することは出来た．

\section{流れの遷移}
閉円板上での構造安定で非圧縮な流れの変換規則を木文法によって定める．ここ
では淀み点の個数が保存されるようなトポロジー的な変化のみを考えているので，
淀み点同士がくっついたり分裂したりして淀み点の数が増減する場合は考えない．
しかし一般に，閉円板上の非圧縮流の遷移は，淀み点同士がくっつくこと，また
は異なる2つの淀み点を繋ぐ軌道がくっつくことにより起こる．そのため，ある
構造安定な流れを構造安定でない流れに変化した後，他の構造安定な流れにしな
ければならない．流れの変換規則は図4.3~4.6が挙げられる．

これらの変換規則を使い，ノードを流線図，エッジを変換とした流れの遷移グラ
フを作成する．ある流れ図4.7の変換規則を使い，流れを遷移させると図4.7のよ
うな遷移グラフになる．トポロジー的な変化のみを考えるため，構造が同じにな
るものは除く．
